Question

Основание равнобедренного треугольника равно 6, боковая сторона 9. В треугольник вписана окружность. Найти расстояние между точками касания, лежащими на боковых сторонах треугольника.

Answer 1

Чертеж во вложении.
Опускаю всякие доказательства равенства треугольников и, как следствие, из соответствующих элементов. Все это можно рассмотреть на чертеже.
Т.к. О-центр впис.окружночти, то ВН-биссектриса, медиана, высота ∆АВС. Значит, АН=СН=3.
По свойству отрезков касательных из одной  точки к окружности АН=АК=СН=СМ=3, тогда ВК=ВМ=9-3=6.
Из подобия ∆ВКЕ и ∆ВАН следует 
$frac{BK}{BA}=frac{KE}{AH} => frac{6}{9}=frac{KE}{3} => KE=2\\ KM=2KE=2*2=4$
Ответ: 4