Question

в прямоугольнике тоска касание вписанной окружности делит гипотенузу на отрезкт 7 см и 10 см. найдите периметр треугольника если радиум окружности равен 4 см

Answer 1

Дано: ∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

BM=4 см, AM=6 см.

Найти:

[{P_{Delta ABC,}}{S_{Delta ABC}},r.]

Решение:

1) По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,

окружность, вписанная к прямоугольный треугольникAK=AM=6 см,

BF=BM=4 см,

CK=CF=x см.

2) AB=AM+BM=6+4=10 см,

AC=AK+CK=(6+x) см,

BC=BF+CF=(4+x) см.

3) По теореме Пифагора:

[A{C^2} + B{C^2} = A{B^2}]

[{(6 + x)^2} + {(4 + x)^2} = {10^2}]

[36 + 12x + {x^2} + 16 + 8x + {x^2} = 100]

[2{x^2} + 20x - 48 = 0]

[{x^2} + 10x - 24 = 0]

По теореме Виета,

[{x_1} = 2,{x_2} = - 12.]

Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, CK+CF=2 см, AC=8 см, BC=6 см.

4)

[{P_{Delta ABC}} = AB + AC + BC,]

[{P_{Delta ABC}} = 10 + 8 + 6 = 24(cm),]

[{S_{Delta ABC}} = frac{1}{2}AC cdot BC,]

[{S_{Delta ABC}} = frac{1}{2} cdot 8 cdot 6 = 24(c{m^2}),]

[r = frac{{AC + BC - AB}}{2},]

[r = frac{{8 + 6 - 10}}{2} = 2(cm).]

Ответ: 24 см, 24 см², 2 с