Question

Какое двузначное число меньше суммы квадратов его цифр на 11 и больше их удвоенного произведения на 5?

Answer 1

Пусть ab - исходное число, значит, его можно представить как 10*a+b
Используя заданные условия, составим и решим систему уравнений:

$left { {{10a+b+11= a^{2}+b^{2} } atop {10a+b=2ab+5}} right.$

Из первого уравнения вычтем второе

$11=a^{2}+b^{2}-2ab-5$
или 
$(a-b)^{2}=16$

Получаем два случая и соответственно решаем 2 системы:

1). $left { {{a-b=4} atop {10a+b=2ab+5}} right.$

$left { {{a=b+4} atop {10(b+4)+b=2b(b+4)+5}} right.$

$left { {{a=b+4} atop {2b^{2}-3b-35=0} right.$

Из двух корней 2-го уравнения системы один получается отрицательным и нам не подходит, а второй нас удовлетворяет:

$left { {{a=9} atop {b=5}} right.$

Значит, искомое число 95.

2). $left { {{a-b=-4} atop {10a+b=2ab+5}} right.$

$left { {{a=b-4} atop {10(b-4)+b=2b(b-4)+5}} right.$

$left { {{a=b-4} atop {2b^{2}-19b+45=0} right.$

Решая второе уравнение системы, убеждаемся, что нам подходит только корень b = 5

$left { {{a=9} atop {b=5}} right.$

Аналогичный результат: 95.