Question

Стороны AB, BC и AC треугольника ABC равны соответственно 8, 4 и 6. Точка F делит сторону AC в отношении AF:FC=2:1, отрезок BF пресекает биссектрису AD треугольника ABC в точке O, а прямая CO пересекает сторону AB в точке K. Найдите площадь треугольника OBK. 

Answer 1

По теореме Чевы 
BD*CF*AK/(DC*FA*KB) = 1; 
CF/FA = 1/2; BD/DC = 8/6 = 4/3; поэтому
(AK/KB)*(1/2)*(4/3) = 1; AK/KB = 3/2; 
То есть KB = (2/5)*AB;
Расстояния от точек С и О до АВ относятся так же, как OK/CK; (это - ключевой момент решения).
По теореме Ван-Обеля CO/OK = CF/FA + CD/DB = 1/2 + 6/8 = 5/4; 
то есть OK = (4/9)*CK;
Таким образом, площадь треугольника  OBK равна (4/9)*(2/5)*S = S*8/45; где S - площадь ABC; (сторона КВ составляет 2/5 стороны АВ, а высота к этой стороне треугольника OBK равна 4/9 высоты треугольника АВС к стороне АВ).
Осталось посчитать площадь АВС по формуле Герона.
p = (8 + 4 + 6)/2 = 9; p - 4 = 5; p - 6 = 3; p - 8 = 1;
S^2 = 9*5*3*1; S = 3*√15; если умножить на 8/45, получится 
Ответ 8*√15/15;

Проверяйте обязательно.

Answer 2

Я, конечно, могу так оформить решение, что ссылок на Чеву и Ван Обеля не будет. То есть просто по ходу докажу в скрытом виде эти теоремы. Это не сложно, но удлиняет решение раза в три. Так что найдите доказательство этих теорем.... так проще будет.