Question

Решить систему уравнений:
2x^2-xy+y^2=11 и 3x^2-4xy+2y^2=6

Answer 1

{ 2x^2 - xy + y^2 = 11
{ 3x^2 - 4xy + 2y^2 = 6
Попробуем перейти к классическим уравнениям 2 порядка.
Для этого нужно избавиться от членов xy. Делаем замену:
x = u*cos a + v*sin a
y = u*sin b - v*cos b
Эта замена означает поворот системы координат на углы а и b радиан.
{ 2(u*cos a+v*sin a)^2 - (u*cos a+v*sin a)(u*sin a-v*cos a) +
+ (u*sin a-v*cos a)^2 = 11
{ 3(u*cos b+v*sin b)^2 - 4(u*cos b+v*sin b)(u*sin b-v*cos b) + 
+ 2(u*sin b-v*cos b)^2 = 6
Раскрываем скобки, приводим подобные.
В обоих уравнениях скобку при uv приравниваем к 0.
{ sin² a-2cos a*sin a-cos² a = 0
{ 2sin² b+cos b*sin b-2cos² b = 0
Получаем
{ tg 2a = -1; 2a = -pi/4; cos(2a) = √2/2
{ tg 2b = 4; 1/cos^2 (2b) = 1+tg^2 (2b) = 1+16=17; cos(2b) = 1/√17=√17/17
Выразим синусы и косинусы одинарных аргументов.
{ $sin(a)= sqrt{ frac{1-cos(2a)}{2} } = sqrt{ frac{1- sqrt{2}/2 }{2} } = frac{ sqrt{2- sqrt{2} } }{2}$
{ $cos(a)=sqrt{ frac{1+cos(2a)}{2} } = sqrt{ frac{1+ sqrt{2}/2 }{2} } = frac{ sqrt{2+ sqrt{2} } }{2}$
{ $sin(b)=sqrt{ frac{1-cos(2b)}{2} } = sqrt{ frac{1- sqrt{17}/17 }{2} } = sqrt{ frac{17- sqrt{17} }{34} }$
{ $cos(b)=sqrt{ frac{1+cos(2b)}{2} } = sqrt{ frac{1+ sqrt{17}/17 }{2} } = sqrt{ frac{17+ sqrt{17} }{34} }$
Подставляем эти синусы и косинусы в наши уравнения
{ u²*(2cos² a-cos a*sin a+sin² a) + uv*(-sin² a+2cos a*sin a+cos² a) +
+ v²*(2sin² a+cos a*sin a+cos² a) = 11
{ u²*(3cos² b-4cos b*sin b+2sin² b) + uv*(2cos b*sin b+4sin² b-4cos² b) +
+ v²*(3sin² b+4cos b*sin b+2cos² b) = 6
Получаем
{ u²*(4+√2) + v²*(8-√2) = 44
{ u²*(-1003 + √17) + v²*(1173 - √17) = 204
Это 2 эллипса, они пересекаются в 4 точках.
Короче, способ длинный и неудобный. В итоге получаем 4 решения:
(-2; -3); (2; 3); (-8/√11; -7/√11); (8/√11; 7/√11)