Question

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 точки E , K и L – середины ребер  AA1 ,CD и  B1C1 соответственно, а точки M иN расположены соответственно на от-резках EK и LK так, чтоEM :MK = 2 :3 , а LN : NK =1: 4 . Найди-те длину отрезка МN.

Answer 1

Треугольник EKL равносторонний, его стороны 
a^2 = 1^2 + (1/2)^2 + (1/2)^2 = 3/2; a = √(3/2);
KM = a*3/5; KN = a*4/5; cos(∠MKN) = cos(60°) = 1/2;
По теореме косинусов 
MN^2 = (a*3/5)^2 + (a*4/5)^2 - (a*3/5)*(a*4/5) = a^2*13/25; 
MN = a*√13/5 = √78/10;

В одном из комментариев комментарии я упоминаю, что можно так повернуть куб, чтобы точки E K L циклически поменялись местами E -> K; K -> L; L -> E; и можно сделать это повторно :) . Именно это является главным обоснованием того, что EKL - равносторонний треугольник.

Answer 2

После того, как стало понятно, что EKL равносторонний треугольник, задача становится плоской. Надо нарисовать на плоскости треугольник и все сосчитать. На самом деле MN проще вычислить по теореме косинусов

Answer 3

Вот, стал проверять, нашел ошибку. А сложные построения такого рода обычно нужны, если надо определить пропорции между какими-то отрезками, например, в этой задаче ET = TP; то есть ЕР = a*8/5 и так далее. Для вычисления MN это все - избыточные действия.