Question

Найдите периметр треугольника, стороны которого составляют арифметическую прогрессию с разностью 3,  если известно, что произведение радиусов вписанной и описанной окружностей равно 180.

Answer 1

Пусть стороны: а, а+3, а+6. Тогда
Р=а+а+3+а+6=3а+9, р=Р/2=(3а+9)/2
r*R=180
r=S/p, R=abc/4S
S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)
Подставив вместо a,b,c данные стороны в формулы радиусов, получим:

$r= sqrt{(a-3)(a+9)/12}$

$R=a(a+6)/ sqrt{3(a+9)(a-3}$

$r*R= sqrt{ frac{(a-3)(a+9}{12} } * frac{a(a+6)}{ sqrt{3(a+9)(a-3)} } = frac{a(a+6)}{6}=180$
Получаем квадратное уравнение:
a^2+6a-1080=0
Решаем, получаем корни: а=30, а=-36. Берем только положительный.
Р=3*30+9=99

Answer 2

для треуголь рад вписанной окр-ти r=S/p, где р - полупериметр
                    рад описанной окр-ти R=abc/(4S)
перемножаем одну формулу на другую и получаем:

R*r=abc/(4p)=180
пусть сторона а =х, тогда b=x+3, c=x+6
p=(x+x+3+x+6)/2
теперь р и стороны подставляем и решаем. получаем квадратное ур-ние
х^2+6x-1080=0
x=30
теперь периметр будет 30 + 33 + 36=99