Question

прошу помощи)
1) Медиана треугольника АВС, проведенная к стороне АВ, составляет со стороной СВ угол 60 гр и равна(корень из 6)/10. Найти сторону АВ, если она составляет со стороной ВС угол 45 гр.
2) В прямоугольном треугольнике расстояние от вершины прямого угла до центра вписанной окружности равно (корень из 2), а радиус описанной окружности равен 2,5. Найти периметр треугольника.

Answer 1

1.
Пусть CM - медиана, M принадлежит AB.
Рассмотрим треуг. MBC: у него MC = (корень из 6)/10; угол В = 45; угол BCM = 60.
Тогда по теореме синусов:
$frac{MC}{sin 45} = frac{MB}{sin60}$

$MB= frac{MC*sin60}{sin45}$

$MB= frac{ sqrt{6}}{10}* frac{ sqrt{3} }{2}* frac{2}{ sqrt{2} }= frac{3}{10}$

Тогда вся сторона АВ = 2*МВ, т.е. АВ = 0,6


2.
Пусть дан прямоугольный треугольник с прямым углом С. О - центр вписанной в треуг. окружности. СО по условию = корень из 2.

Рассмотрим треугольник СОК, где К принадлежит СА и ОК является радиусом вписанной окружности. Треугольник СОК прямоугольный и равнобедренный, значит радиус впис. окр. = 1 (используя Т. Пифагора для треуг. СОК).

Радиус описанной около прямоугольного треуг. АВС окружности по усл. = 2,5. А так как центр описанной около прямоугольного треуг. окружности лежит на середине гипотенузы, то вся гипотенуза АВ = 2*2,5 = 5.

Для прямоугольного треугольника с катетами a, b и гипотенузой c известно, что $r = frac{a+b-c}{2}$
где r - радиус вписанной окружности

Получаем, что $a+b=2*r+c$

или $a+b=2*1+5$

$a+b=7$

Тогда периметр АВС = $a+b+c=7+5=12$