Question

докажите, что многочлен P(x)=x^8+x^6-4x^4+2x^3+5 не принимает отрицательное значение
Только, можно пожалуйста с пояснениями, а то я эту тему плохо знаю.

Answer 1

  
  Пояснение:Пусть нужно выделить полный квадрат у функции P(x)=x^2+6x-1. Добавим  число 9  и отнимем 9,чтобы первые три слагаемых  были  полным квадратом двух чисел P(x)=( x^2+6x+9) -9-1=
 =(x+3)^2-10 ).
 Решение: Сгруппируем  первое и третье, второе и четвертое слагаемые и выделим полный квадрат:
 P(x)= (x^8-4x^4) + (x^6+2x^3) +5=(x^4-2)^2-4+(x^3+1)^2-1+5=
 =(x^4-2)^2+(x^3+1)^2-5+5.
 Каждое слагаемое данной функции  не отрицательно, поэтому данный многочлен не принимает отрицательное значение. Доказано.