Question

Решить, и подробно объяснить как такие уравнения решаются.

$2 tg^2 x - frac{7}{cos x} + 8 = 0$

Answer 1

Считаем, что автор уже умеет решать простейшие тригонометрические уравнения.
Теперь ему надо выучить, или хотя бы иметь под рукой тригонометрические формулы:
1) Основные - формулы, связывающие функции одного и того же аргумента.
2) Формулы суммы и разности
3) Формулы понижения степени
4) Формулы для функций кратных аргументов
5) Формулы произведения функций
7) Формулы, связывающие все тригонометрические функции с тангенсом половинного угла.
Ну конечно, же не все типы формул используются в конкретном уравнении. Всё это - про запас.
Основная идея таких уравнений, как собирается научиться решать автор, - это сведение всех тригонометрических функций к одному виду и к одному аргументу. В исследуемом уравнении с аргументом ничего делать не нужно, он и так простой - это переменная х. Остается только свести tg x и cos x к какой-то одной функции (например, только к tg или только к sin или только к cos). В этом чаще всего помогают формулы, связывающие функции одного и того же аргумента.
Как известно, $tg x=frac{sin x}{cos x}$ , подставляем в уравнение:
$2*(frac{sin x}{cos x})^2-frac{7}{cos x}+8=0\ 2*frac{sin^2 x}{cos^2 x}-frac{7}{cos x}+8=0$
Еще не всё, у нас всё еще 2 вида функций. Применяем основное триг.тож-во:
$sin^2x+cos^2x=1 => sin^2=1-cos^2x =>\\ dfrac{2(1-cos^2x)}{cos^2x}-dfrac{7}{cos x}+8=0$
Всё!!! Теперь все получена одна и та же функция cos и у нее одинаковый аргумент x. Выполнение этих двух требований я считаю основополагающим при решении значительной массы триг.уравнений.
теперь делаем заменку  cos x = t и решаем рациональное уравнение (способы их решений изучаются в 7-9 кл.)
$dfrac{2(1-t^2)}{t^2}-dfrac{7}{t}+8=0 \ dfrac{2}{t^2}-2-dfrac{7}{t}+8=0 \ dfrac{2}{t^2}-dfrac{7}{t}+6=0 \ 6t^2-7t+2=0, t neq0\ t_1=frac{1}{2}, t_2=frac{2}{3}$
Далее переходим к простейшим тригонометрическим уравнениям:
$cos x=frac{1}{2}$   или   $cos x=frac{2}{3}$
Решив эти уравнения, получаем ответ:
$pm frac{pi}{3}+2pi k, pm arccos frac{2}{3}+2pi n; k,n in Z.$