Question

Ребята, нужна помощь. Решить задачу: К двум непересекающимся окружностям О1 и О2 проведены три общие касательные - две внешние, a и b, и одна внутренняя, с. Прямые a, b и с касаются окружности О1 в точках А1, В1 и С1 соответственно, а окружности О2 - в точках А2, В2 и С2 соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников А1В1С1 и А2В2С2 равно отношению радиусов окружностей О1 и О2. Доказательство сопроводить чертежом. Решившим заранее огромное спасибо!

Answer 1

Точки пересечения линий a и b - M; a и c - K; b и c - P; 
Для треугольника МКР окружность 2 (центр О2, радиус r) - вписанная, а окружность 1 (центр О1, радиус ρ) - вневписанная (то есть касается стороны КР и продолжений сторон МК и МР). Площадь треугольника МКР обозначена S, площадь A1B1C1 - S1; площадь А2В2С2 - S2; R - радиус описанной вокруг МКР окружности. Углы треугольника МКР обозначены так α = угол КРM; β = угол PКМ;γ = угол КМР;
Очевидно, что ( :) ) угол А2О2В2 = угол А1О1В1 = 180° - γ; угол С1О1В1 = α; (оба угла составляют 180° в сумме с углом B1PC1... или, если хочется, стороны этих углов перпендикулярны попарно...) угол С2O2B2 = 180° - α; аналогично угол A1O1C1 = β; угол A2O2C2 = 180° - β;
Далее, площадь треугольника A2B2C2 равна сумме площадей треугольников O2A2B2; O2B2C2 и O2C2A2; отсюда S2 = (r^2/2)*sin(α) +  (r^2/2)*sin(β) + (r^2/2)*sin(γ) = r^2*(sin(α) +  sin(β) + sin(γ))/2;
Площадь треугольника A1B1C1 равна сумме площадей треугольников O1B1C1 и O1C1A1 минус площадь треугольника O1A1B1; отсюда S1 = (ρ^2/2)*sin(α) +  (ρ^2/2)*sin(β) - (ρ^2/2)*sin(γ) = ρ^2*(sin(α) +  sin(β) - sin(γ))/2;
(Примечание: не стоит забывать, что sin(Ф) = sin(180° - Ф) :) )
По теореме синусов, КР = 2*R*sin(γ); MP = 2*R*sin(β); MK = 2*R*sin(α);
Если обозначить p - полупериметр MKP, то 
sin(α) +  sin(β) + sin(γ) = p/R; sin(α) +  sin(β) - sin(γ) = (p - KP)/R;
Поскольку S = p*r = (p - KP)*ρ; (а вот должны знать :)) то 
sin(α) +  sin(β) + sin(γ) = S/(r*R); sin(α) +  sin(β) - sin(γ) = S/(ρ*R);
и получается окончательно
S1 = (ρ^2/2)*S/(ρ*R) = S*ρ/(2*R); S2 = S*r/(2*R); и S2/S1 = r/ρ; чтд.

Answer 2

А вот простейшая задача - см. чертеж - докажите, что КР = А1А1 = В1В2:) это очень просто, но почему-то все спотыкаются :)