Question

Высота прямоугольного треугольника делит его на треугольники с площадями 9 и 36. Найдите гипотенузу данного треугольника

Answer 1

Высота делит прямоугольный треугольник на два, ему подобные (и между собой, конечно, подобные). Если высота к гипотенузе с равна h, катеты a и b, соответствующие им отрезки гипотенузы (проекции катетов на гипотенузу) равны x и y, то из этого подобия следуют таких два соотношения (второе в решении не пригодится, но может пригодиться при проверке ответа)
1. x/h = h/y; => h^2 = x*y;
2. x/a = h/b; => x/y = (a/b)^2; (надо просто подставить h = √(x*y))
Площади треугольников равны 9 и 36;
h*x/2 = 9; h*y/2 = 36; => y = 4*x; => h = √(x*y) = 2*x; 
В силу упомянутого подобия у всех трех треугольников больший катет в два раза больше меньшего (то же самое следует из второго доказанного равенства x/y = (a/b)^2;).
Далее, 
из h*x/2 = 9; и h = 2*x; получается x^2 = 9; x = 3; y = 12; c = x + y = 15;

Answer 2

можно проверить ответ :) h = 6; 6*3/2 = 9; 6*12/2 = 36; S = 6*15/2 = 45 (= 9+36) = a*b/2; a*b = 90; b/a = 2 (больший катет в 2 раза больше меньшего); a^2 = 45; b^2 = 180; c^2 = 180 + 45 = 225 = 15^2; то есть все правильно

Answer 3

Я там внес кое-какие изменения в текст, они на решение не влияют, просто немного точнее получилось.