Question

В треугольнике АВС угол В равен 120 градусов, а длина стороны АВ на 3*корень из 3 меньше полупериметра треугольника. Найдите радиус окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС.

Answer 1

Чертеж к задаче во вложении.
Согласно условию
$frac{1}{2}P_{ABC}=AB+3sqrt3$
Пусть К, Е и М -точки касания окружности сторонами ∆АВС.
∠СВЕ=180°-∠АВС=180°-120°=60° (свойство смежных углов)
Т.к. О-центр окружности, то ВО - биссектриса ∠ЕВС. Значит, ∠СВО=∠ОВЕ=30°.
Обозначим радиус окружности OE=OK=OM=r.
В прямоугольном ∆ОЕВ
$BE=frac{OE}{tgangle OBE}=frac{r}{tg30^o}=frac{3r}{sqrt3}=rsqrt3$
По свойству отрезков касательных ВЕ=ВК и СК=СМ, а также АЕ=АМ.
Отсюда P=АВ+ВС+АС = АВ+ВК+КС+АС=(АВ+ВЕ)+(АС+СМ)=АЕ+АМ=2АЕ. Значит,
$AE=frac{1}{2}P_{ABC}=AB+3sqrt3\ AE=AB+BE=AB+rsqrt3\ => AB+3sqrt3=AB+rsqrt3 => r=3.$
Ответ: 3.