Question

Сумма второ, четвертого и шестого членов арефметических прогресии равна 18, а их произведение равно 168. Найдите первый член прогресии.

Answer 1

Сначала вспомним, что
$a_4=dfrac{a_2+a_6}2$
Тогда из первого условия можно сразу найти четвертый член:
 $a_2+a_4+a_6=2a_4+a_4=3a_4=18$
Откуда $a_4=6$

Теперь, пользуясь представлением
$a_2=a_4-2d;quad a_6=a_4+2d$
запишем второе условие:
$(6-2d)cdot6cdot(6+2d)=168\ 36-4d^2=28\ 4d^2=8\ d=pmsqrt2$

Теперь уже можно найти первый член прогрессии:
$a_1=a_4-3d=6pm3sqrt 2$

Answer 2

$a_2+a_4+a_6 =18 => (a_1+d)+(a_1+3d)+(a_1+5d)=18 =>\ 3a_1+9d=18 => a_1+3d=6 => a_4=6 => a_2+a_6=12.\\ a_2*a_4*a_6=168 => a_2*6*a_6=168 => a_2*a_6=28.$
$begin{cases} a_2+a_6=12 \ a_2*a_6=28 end{cases} <=> begin{cases} a_2 =12-a_6 \ (12-a_6)*a_6=28 end{cases} =>\ (a_6)^2-12a_6+28=0\ a_6=6б2sqrt2\ 1) a_6=6-2sqrt2 =>a_2=6+2sqrt2 => d=frac{a_4-a_2}{2}=\ =frac{6-6-2sqrt2}{2}=-sqrt2 => a_1=a_2-d=6+2sqrt2+sqrt2=\ =6+3sqrt2; \ 2) a_6=6+2sqrt2 =>a_2=6-2sqrt2 => d=frac{6-6+2sqrt2}{2}=\=sqrt2 => a_1=a_2-d=6-2sqrt2-sqrt2=\ =6-3sqrt2.\\ Ombem: a_1=6б3sqrt2.$