Question

в треугольнике авс на стороне ас взята точка м, такая что ам=2/3ас, на стороне вс- точка к, такая, что вк=1/3вс, В каком отношении отрезок вм делит отрезок ак?

Answer 1

Для начала точку K я переобозначу как А1, а точку M - как B1,  буквой К обозначу пересечение прямых AA1 и BB1. Такие обозначения являются общепринятыми для подобных задач. Итак, задано, что BA1/A1C = 1/2 (ну, или ВА1 = ВС/3, что то же самое), и СВ1/В1А = 1/2 (или, то же самое, АВ1 = АС*2/3). Надо найти АК/КА1.
1. "Способ, ради которого задаются такие задачи."
Пусть С1 - точка пересечения СК и АВ. Тогда по теореме Чевы
ВА1*СВ1*АС1/(А1С*В1А*С1В) = 1; AC1/C1B = 4;
По теореме Ван-Обеля
АК/КА1 = АС1/С1В + АВ1/В1С = 4 + 2 = 6;
2. Способ "без сложных теорем"
Если провести B1B2 II BC; то из подобия треугольников AB1B2 и AA1C получается
В1В2 = А1С*2/3 = ВС*4/9;
Из подобия треугольников ВКА1 и В1В2К 
В2К/КА1 = В1В2/ВА1 = (4/9)/(1/3) = 4/3;
Отсюда ВА1/КА1 = 7/3; AA1/KA1 = 7; AK/KA1 = 6

Answer 2

В2К/КА1 = В1В2/ВА1 = (4/9)/(1/3) = 4/3; ВА1/КА1 = (В2К + KA1)/КА1 = 4/3 + 1 = 7/3

Answer 3

Блин, там опечатка, В2А1/КА1 = 7/3, конечно.

Answer 4

Я это заметил только потому, что скопировал строку из решения :)))))

Answer 5

На самом деле, когда получено В2К/КА1 = 4/3; и с учетом AB2 = (2/3)*AA1, уже все легко получается. В2А1 = A1A/3; Если КА1 = 3x; то B2K = 4x; и 7x = A1A/3; x = A1A/21; KA1 = A1A/7; AK = A1A*6/7; AK/KA1 = 6