Question

Длины трех отрезков составляют геометрическую прогрессию. При каких значениях знаменателя прогрессии из этих отрезков можно составить треугольник?

Answer 1

Пусть q>1
 Стороны  a,aq,aq² в порядке возрастания. Выполняется неравенство треугольника a+aq>aq². Сократим на а.
q²-q-1<0.
Находим корни q₁=(1+√5)/2, q₂=(1-√5)/2.
q∈(1; (1+√5)/2).
При знаменателе меньшем единицы стороны будут в порядке убывания, Получится неравенство q²+q-1>0. q∈((-1+√5)/2;1).
 При знаменателе 1 получится равносторонний треугольник. Объединяя эти решения получим ответ: q∈((-1+√5)/2;(1+√5)/2)