Question

Исследовать сходимость ряда

Answer 1

$displaystyle sum^{infty}_{n=1} frac{10^ncdot (2n)!}{2n!}$
По признаку д'Аламбера:
  $displaystyle lim_{n to infty} frac{a_{n+1}}{a_n}= lim_{n to infty} frac{dfrac{10^{n+1}cdot (2n+2)!}{2(n+1)!} }{dfrac{10^ncdot (2n)!}{2n!} } = lim_{n to infty} 20(2n+1)=infty textgreater 1$
Данный ряд РАСХОДИТСЯ.

$displaystyle sum^{infty}_{n=1} dfrac{2n+1}{n^2(n+1)^2}$
Проверим необходимое условие сходимости ряда:
$displaystyle lim_{n to infty} a_n = lim_{n to infty} dfrac{2n+1}{n^2(n+1)^2} =0$  Выполняется.

$displaystyle bigg|dfrac{2n+1}{n^2(n+1)^2} bigg|sim frac{2n}{n^2cdot n^2} = frac{2}{n^3}$

По первому признаку сравнения данный ряд сходится