Question

вышмат
2yy''-3(y')^2=4y^2
найти общее решение уравнения

Answer 1

Это дифференциальное уравнение второго порядка независящее явным образом от независимой переменной х.

Понизим порядок производной.
Пусть y' = p(y), тогда y'' = p*p'(y). Имеем:

$-3p^2+2ypcdot p'=4y$
Пусть l = p², тогда
$l'- dfrac{3l}{y} =4y$
Получили дифференциальное уравнение первого порядка, линейное неоднородное.
Пусть $l=uv$ тогда $l'=u'v+uv'$
$u'v+uv'- dfrac{3uv}{y} =4y\ \ u'v+ubigg(v'- dfrac{3v}{y} bigg)=4y$
Данное решение состоит из двух этапов:

1) Предполагаем, что второе слагаемое равен нулю:
$v'- dfrac{3v}{y} =0;,,,,, Rightarrow,,,,,, dfrac{dv}{dy} = dfrac{3v}{y} \ \ dfrac{dv}{v} = dfrac{3dy}{y}$
Интегрируя обе части уравнения, получаем:
$ln|v|=ln|y^3|,,,,, Rightarrow,,,,,, v=y^3$

2) Второе слагаемое равен нулю, значит

$u'v=4y\ \ u'cdot y^3=4y|:y^3\ \ u'= dfrac{4}{y^2}$
Снова интегрируя, получаем:
$displaystyle intlimits {dfrac{4}{y^2} } , dy=-dfrac{4}{y} +C_1$

Обратная  замена:

$l=bigg(-dfrac{4}{y}+C_1bigg)cdot y^3=-4y^2+C_1y^3\ \ p^2=C_1y^3-4y^2;,,,,,, Rightarrow,,,, p=pm sqrt{C_1y^3-4y^2} \ \ \ y'=pm sqrt{C_1y^3-4y^2} \ \ \ dfrac{dy}{y sqrt{C_1y-4} } =pm dx\ \ \ boxed{-arctgbigg( frac{2}{ sqrt{C_1y-4} } bigg)=pm x+C_2}$