Question

Помогите решить неравенство:

Answer 1

$\log_2^2x-|\log_2x|\ \textless \ 6$
Рассмотрим функцию $y=\log_2^2x-|\log_2x|-6$
Область определения функции: $x\ \textgreater \ 0;\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\,\, D(f)=(0;+\infty)$

$y=0;\,\,\,\,\,\log_2^2x-|\log_2x|-6=0$
Если $\log_2x\ \textgreater \ 0\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\, x\ \textgreater \ 1$, то

$\log_2^2x-\log_2x-6=0\\ \bigg(\log_2x- \dfrac{1}{2} \bigg)^2- \dfrac{25}{4} =0\\ \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}\log_2x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}\\ \log_2x-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{5}{2}\end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}\log_2x=3\\ \log_2x=-2\end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}x_1=8\\ x_2= \dfrac{1}{4} \end{array}\right$

$\displaystyle \left \{ {{x\ \textgreater \ 1} \atop {\log_2^2x-\log_2x-6\ \textless \ 0}} \right. \Rightarrow\,\,\, x\in (1;3)$

Если $\log_2x\ \textless \ 0\Rightarrow\,\,\,\,\, x\ \textless \ 1$, то
$\log_2^2x+\log_2x-6\ \textless \ 0\\ \\ \bigg(\log_2x+\dfrac{1}{2}\bigg)- \dfrac{25}{4} \ \textless \ 0\\ \\ \\ -\dfrac{5}{2}\ \textless \ \log_2x+\dfrac{1}{2}\ \textless \ \dfrac{5}{2}|-\dfrac{1}{2}\\ \\ \\ -3\ \textless \ \log_2x\ \textless \ 2\\ \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}\log_2x\ \textgreater \ -3\\ \log_2x\ \textless \ 2\end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}x\ \textgreater \ 2^{-3}\\ x\ \textless \ 4\end{array}\right$

С учетом ОДЗ и условии: $x \in\bigg( \dfrac{1}{8} ;1\bigg)$



Общее решение: $x \in \bigg( \dfrac{1}{8} ;8\bigg)$