Question

в правильную четырехугольную пирамиду боковое ребро которой равно 3 корня из 5 а высота=3, списана сфера( сфера касается всех граней пирамиды). найти площадь этой сферы????

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА

 

Answer 1

Чертеж во вложении.

Пирамида МАБСД. МО=3 -высота, МВ=МА=МС=МД=3√5.

О₁ - центр вписанной сферы.

АВСД - квадрат, О-центр вписанной и описанной окружностей.

∆ВМО-прямоугольный. По теореме Пифагора

$BO=sqrt{BM^2-MO^2}=sqrt{45-9}=sqrt{36}=6$

∆ВОA-прямоугольный, ОВ=ОА. По теореме Пифагора

$BA=sqrt{BO^2+AO^2}=sqrt{72}=6sqrt{2}$

Тогда ОР=1/2АВ=3√2.

В прямоугольном ∆МОР по теореме Пифагора

$MP=sqrt{PO^2+MO^2}=sqrt{18+9}=3sqrt{3}$

О₁ - центр вписанной сферы, является центром вписанной в ∆ТМР окружности. Для этой окружности и для сферы r=ОО₁.

Тогда О₁ - точка пересечения биссектрис ∆ТМР.

Рассмотрим прямоугольный ∆МОР. РО₁-биссектриса. МО₁=МО-ОО₁=3-r.

По свойству биссектрисы треугольника

$frac{OP}{OO_1}=frac{MP}{MO_1} \ frac{3sqrt2}{r}=frac{3sqrt3}{3-r} \ frac{sqrt2}{r}=frac{sqrt3}{3-r} \ sqrt2(3-r)=rsqrt3 \ 3sqrt2-rsqrt2=rsqrt3 \ r=frac{3sqrt2}{sqrt3+sqrt2}=3sqrt2(sqrt3-sqrt2})$

Площадь сферы:

$S=4pi r^2 \ S=4pi (3sqrt2(sqrt3-sqrt2}))^2=72pi (sqrt3-sqrt2})^2=\ =72pi (5-sqrt6)=360pi -72pi sqrt6$