Question

Решите неравенство, применяя теоремы о равносильности неравенств:

Answer 1

$\sqrt{x^2-2x}\ \textgreater \ 1-x$
Неравенство равносильно совокупности двух систем:
$\left\{\begin{array}{l}1-x\ \textless \ 0\\x^2-2x \geq 0\end{array}\right$ и $\left\{\begin{array}{l}1-x \geq 0\\x^2-2x \ \textgreater \ (1-x)^2\end{array}\right$
Решаем первую систему:
$\left\{\begin{array}{l}1-x\ \textless \ 0\\x^2-2x \geq 0\end{array}\right \\\ \left\{\begin{array}{l}1-x\ \textless \ 0\\x(x-2) \geq 0\end{array}\right \\\ \left\{\begin{array}{l}x\ \textgreater \ 1\\ x\in(-\infty;0]\cup[2;+\infty)\end{array}\right \Rightarrow x\in[2;+\infty)$
Решаем вторую систему:
$\left\{\begin{array}{l}1-x \geq 0\\x^2-2x \ \textgreater \ (1-x)^2\end{array}\right \\\ \left\{\begin{array}{l}1-x \geq 0\\x^2-2x \ \textgreater \ 1-2x+x^2\end{array}\right \\\ \left\{\begin{array}{l}1-x \geq 0\\0 \ \textgreater \ 1\end{array}\right$
Второе неравенство неверно, значит вся система не имеет решений.
Тогда общее решение совокупности совпадает с решением первой системы: $x\in[2;+\infty)$
Ответ: $x\in[2;+\infty)$