Question

1) Решите неравенство:
$cos^{2} 2x-sin^{2}2x \geq \frac{1}{2}$
2) Решите неравенство:
$x(|x+2|-3) \leq 0$

Answer 1

$\cos^22x-\sin^22x \geq 0.5\\ \cos4x \geq 0.5\\ \\ - \dfrac{\pi}{3} +2 \pi n \leq 4x \leq \dfrac{\pi}{3} +2 \pi n\,\,\,\, |:4\\ \\ \\ \boxed{-\dfrac{\pi}{12} +\dfrac{\pi n}{2} \leq x \leq \dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi n}{2} }$

$x(|x+2|-3) \leq 0$
Рассмотрим функцию: $f(x)=x(|x+2|-3)$
Область определения функции: $D(f)=\mathbb{R}$

Приравниваем функцию к нулю
$x(|x+2|-3)=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю
$x_1=0\\ |x+2|-3=0\\ \left[\begin{array}{ccc}x+2=3\\ x+2=-3\end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}x_2=1\\ x_3=-5\end{array}\right$

___-___[-5]___+___[0]___-___[1]__+_____

$x \in (-\infty;-5]\cup[0;1]$


Ответ: $x \in (-\infty;-5]\cup[0;1]$