Question

Доказать:

$cos^{2} a+ cos^{2} beta=0.5-sqrt{2}*cos a*cos beta$

Если:

$a>0, beta>0, a+beta=3pi/4$

Заранее огромное спасибо тому,кто решит)Всем отличных каникул!

Answer 1

$cos^2A+cos^2B=0.5-sqrt{2}cosAcosB \ cos^2A+cos^2(frac{3pi}{4}-A)=0.5-sqrt{2}cosAcos(frac{3pi}{4}-A) \ frac{1+cos2A}{2}+frac{1+cos(frac{3pi}{2}-2A)}{2}=0.5-sqrt{2}cosA(cosfrac{3pi}{4}cosA+sinfrac{3pi}{4}sinA)$

$\ 1+cos2A+1+cos(frac{3pi}{2}-2A)=1-2sqrt{2}cosA(-frac{sqrt{2}}{2}cosA+frac{sqrt{2}}{2}sinA) \ 2+cos2A-sin2A=1+2cos^2A-2sinAcosA \ 1+cos2A-sin2A=frac{2(1+cos2A)}{2}-sin2A \ 1+cos2A=1+cos2A$

Верно, значит и исходное равенство верно.