Question

Решите, пожалуйста:

xy''+y'-x-1=0

Дифференциальное уравнение второго порядка.

Answer 1

Это дифференциальное уравнение второго порядка независящее явным образом от неизвестной функции у.
Уравнение может быть понижен с помощью замены: y' = z(x), тогда y'' = z'(x), где z(x) - новая неизвестная функция.

Имеем:

$x\cdot z'+z-x-1=0|:x\\ \\ z'+ \dfrac{z}{x} =1+ \dfrac{1}{x}$

имеем линейное неоднородное уравнение. Пусть y = uv, тогда y' = u'v + uv'

$u'v+uv'+ \dfrac{uv}{x} =1+\dfrac{1}{x} \\ \\ \\ u'v+u\bigg(v'+\dfrac{v}{x}\bigg)=1+\dfrac{1}{x}$

Имеем 2 этапа:

1) Предполагаем, что второе слагаемое равно нулю
$v'+\dfrac{v}{x} =0\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\, \dfrac{dv}{dx} =-\dfrac{v}{x} \\ \\ \\ -\ln|x|=\ln |v|\\ \\ \\ v=\dfrac{1}{x}$

2) Раз предположили что второе слагаемое равен нулю, то

$u'v=1+\dfrac{1}{x} \\ \\ \dfrac{u'}{x} =1+\dfrac{1}{x} |\cdot x\\ \\ \\ \\ u'=x+1\\ \dfrac{du}{dx} =x+1\\ \\ du=(x+1)dx$

Проинтегрируем обе части уравнения:
$u=\dfrac{x^2}{2}+x +C_1$

Обратная замена:

$z=uv=\dfrac{1}{x} \cdot \bigg( \dfrac{x^2}{2} +x+C_1\bigg)= \dfrac{x}{2} +\dfrac{C_1}{x} +1$

$y'= \dfrac{x}{2} +\dfrac{C_1}{x} +1$

Проинтегрируем обе части уравнения

$\displaystyle y= \int\limits {\bigg( \dfrac{x}{2} +\dfrac{C_1}{x} +1\bigg)} \, dx = \frac{x^2}{4} +C_1\ln|x|+x+C_2$ - общее решение


Окончательный ответ:$y=\dfrac{x^2}{4} +C_1\ln|x|+x+C_2$