Question

Сколько различных корней уравнение cosx∙ctgx=sinx+√2∙cos2x имеет на отрезке [0;2π]

Answer 1

cosx∙ctgx=sinx+√2∙cos2x

cosx*(cosx/sinx)= sinx+√2∙cos2x

 

 

 

 

 

cos^2x/sinx= sinx+√2∙cos2x

cos^2x=sin^2x+sqrt2*sinx*cos2x, при это sinx==0

 

cos^2x-sin^2x-sqrt2*sinx*cos2x=0

cos2x-sqrt2*sinx*cos2x=0

 

cos2x(1-sqrt2*sinx)=0

cos2x=0

2x=+-pi/2+2pik

x=+-pi/4+pik

1-sqrt2*sinx=0

-sqrt2*sinx=-1

sinx=sqrt(2)/2

 

x=pi/4+2pik

 

x=3pi/4+2pik 

промежуток простой, поэтому двойное неравенство решает не стоит, слишком долго

смотрим по единичной окружности

 

pi/4, 5pi/4, 3pi/4, 7pi/4 - остальные корни повторяются, значит, 4 корня