Question

найдите наибольшее значение функции 9^х 4^х - 6^х + 9^х и точку х, при которой это значение достигается.
(п.с. степень представлена х-ом, привыкла решать через производную, а тут как-то по-другому, можно сделать замены 3^x и 2^x, но что это может дать...)

Answer 1

$y(x)=frac{9^x}{4^x-6^x+9^x}=frac{1}{(frac{4}{9})^x-(frac{2}{3})^x+1}=frac{1}{((frac{2}{3})^x)^2-(frac{2}{3})^x+1}$

 

рассмотрим функцию $f(t)=t^2-t+1$, по свойствам ее минимальное значение достигается в вершине параболы (минимальное так как коэффициент при t равен a=1>0)

т.е. при $t=-frac{-1}{2}=0.5$

 

далее рассмотрим функцию $g(k)=(frac{2}{3})^k$ -функция убывающая, поэтому чем меньше ее значение тем меньше ее значение

 

далее рассмотрим функцию $h(z)=frac{1}{z}, z>0$ - функция убывающая, чем меньше значение z тем большее значение h(z)

 

видим $h(x)=h(g(f(x)))$ учитывая непрерывность, и все ограничения, видим, что наибольшее значение данной функции достигается при 

$(frac{2}{3})^x=frac{1}{2}; x=log_{frac{2}{3}} frac{1}{2}=log_{1.5} 2=frac{1}{log_2 1.5}=frac{1}{log_2 frac{3}{2}}=frac{1}{log_2 3-log_2 2}=frac{1}{log_2 3-1}$

 

а наибольшее значение учитывая что для него выполняется соотношение $(frac{2}{3})^x=frac{1}{2}=0.5$

 

будет $y_{max}=frac{1}{0.5^2-0.5+1}=frac{1}{0.75}=frac{4}{3}$