Question

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 18, боковые ребра равны 15. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Answer 1

Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, в основании которой лежит правильный шестиугольник. Если стороны основания AB=BC=CD=DE=EF=18, то AO=BO=CO=DO=EO=FO=18. И тогда в прямоугольном треугольнике, например ΔSOD, образованном высотой SO, боковым ребром SD=15 и проекцией бокового ребра на основание DO, катет DO=18 будет больше гипотенузы SD=15. То есть, боковые ребра у пирамиды с такими размерами не сойдутся сверху в вершину S.

В условии задачи ОШИБКА! Такая пирамида не существует.

Тогда рассмотрим решение этой задачи в общем случае. Пусть боковые ребра SA=SB=SC=SD=SE=SF=b, стороны основания AB=BC=CD=DE=EF=AF=a.

Площадь боковой поверхности пирамиды состоит из шести равных равнобедренных треугольников.

ΔESD - равнобедренный, SE=SD=b, ED=a. Высота равнобедренного треугольника SK также является медианой ⇒ EK=KD=a/2

ΔSKD - прямоугольный, ∠SKD=90°. По теореме Пифагора

SD² = SK² + KD² ⇒ SK² = SD² - KD² = b² - (a/2)²

$boldsymbol{SK=sqrt{b^2-Big(dfrac{a}{2}Big)^2}}$

$S_{SED}=dfrac{EDcdot SK}{2}=dfrac{acdot sqrt{b^2-(frac{a}{2})^2}}{2}$

Площадь боковой поверхности пирамиды

$boxed {boldsymbol {S = 6cdot S_{SED}=3acdot sqrt{b^2-Big(dfrac{a}{2}Big)^2}}}$

===========================================

Допустим, боковое ребро пирамиды b=13, сторона основания a=10

$S = 3acdot sqrt{b^2-Big(dfrac{a}{2}Big)^2}} = 3cdot 10cdot sqrt{13^2-Big(dfrac{10}{2}Big)^2} =\ \ ~~~~=30cdot sqrt{169-25} =30cdot 12=360$

==============================================

Допустим, боковое ребро пирамиды b=41, сторона основания a=18

$S = 3acdot sqrt{b^2-Big(dfrac{a}{2}Big)^2}} = 3cdot 18cdot sqrt{41^2-Big(dfrac{18}{2}Big)^2} =\ \ ~~~~=54cdot sqrt{1681-81} =54cdot 40=2160$