Question

При каких значениях параметра "a" уравнение x^2-(a+4)x+2a+6 имеет один корень на луче [1;∞)

Answer 1

При каких значениях параметра "a" уравнение  x^2-(a+4)x+2a+6 =0  имеет один корень на луче [1;∞) .
-------
Обозначаем : t  = x -1 ⇒ x = t+1 получаем:  (t+1)² -(a+4)(t+1) +2a+6 =0 ⇔
t² -(a+2)t +a+3 =0   ,   x ≥ 1 ⇒   t ≥ 0. 
Один корень должен быть  неотрицательным.
t =0  ⇒ a = - 3 .
Уравнение t² -(a+2)t +a+3 =0 [следовательно и x² - (a+4)x+2a+6 =0 ] имеет корней, если D=(a+2)² - 4(a+3)  ≥ 0⇔ a² -8 ≥ 0 ⇒ a ∈( -∞ ; - 2√2]  ∪ [2√2  ;∞) .
-------
Один (однократный) корень, если   a =± 2√2
При   a = - 2√2   ⇒ t=(a+2)/2 = - √2+1 < 0   не удовлетворяет  ;                           При   a = 2√2 ⇒ t = (a+2)/2 = √2+1 >  0_ удовлетворяет .
-------
Корни разных знаков :
{ D > 0 ; a+3 < 0. ⇔ { a ∈( -∞ ; - 2√2)  ∪ (2√2  ;∞)  ; a < - 3. ⇒ a ∈( -∞ ; - 3).

////////////////////////// (-2√2) -------------------- 2√2 ////////////////////
/////////////// (-3) --------------------------------------------------------

Окончательно : a∈ { -3} ∪ {2√2}  ∪ (-∞; -3) =  (-∞; -3]  ∪ {2√2} .

ответ :  a∈  (-∞; -3]  ∪ {2√2}