Question

Помогите решить данное неравенство.. Вопрос возник , вот например, (log2(2x))^2 тоже самое что и log2^2(2x)?

Answer 1

$sqrt{(log_frac{1}{2}2x)^2+4log_2sqrt{2x}} textless sqrt2(4-log_{16}16x^4)\OD3:begin{cases}x textgreater 0\(log_frac{1}{2}2x)^2+4log_2sqrt{2x}geq0end{cases}\(log_22x)^2+2log_22x=0\log_22x(log_22x+2)=0\log_22x=0 log_22x+2=0\2x=1 2x=frac{1}{4}\x=frac{1}{2} x=frac{1}{8}$

(0)//////////////////////////>x
///////[1/8]....[1/2]/////>x
$xin(0;frac{1}{8}]cup[frac{1}{2};+infty)$

Рассматриваем равносильную систему:
$begin{cases}1)(log_frac{1}{2}2x)^2+4log_2sqrt{2x}geq0\2)sqrt2(4-log_{16}16x^4) textgreater 0\3)(log_frac{1}{2}2x)^2+4log_2sqrt{2x} textless (sqrt2(4-log_{16}16x^4))^2end{cases}\1)(log_frac{1}{2}2x)^2+4log_2sqrt{2x}geq0\(log_frac{1}{2}2x)^2+4log_2sqrt{2x}=0\(log_22x)^2+2log_22x=0\log_22x(log_22x+2)=0\log_22x_1=0 log_22x_2=-2\2x_1=1 2x_2=frac{1}{4}\x_1=frac{1}{2} x_2=frac{1}{8}$
$OD3:xneq0\2)sqrt2(4-log_{16}16x^4) textgreater 0\2)sqrt2(4-log_{16}16x^4)=0\4-log_{16}16x^4=0\4-log_{16}16x^4=0\log_{16}16x^4=4\16x^4=16^4\2x=^+_-16\x=^+_-8$
$3)sqrt{(log_frac{1}{2}2x)^2+4log_2sqrt{2x}} textless sqrt2(4-log_{16}16x^4)\(log_frac{1}{2}2x)^2+4log_2sqrt{2x} textless 2(4-log_{16}16x^4)^2\(log_22x)^2+2log_22x textless 32-16log_{2}2x+2(log_{2}2x)^2\log_22x-18log_22x+32 textgreater 0\log_22x-18log_22x+32=0\log_22x_{1,2}=9^+_-7\log_22x_1=16 log_22x=2\2x_1=65536 2x_2=4\x_1=32768 x_2=2$
1)///////////////////////////[1/8]        [1/2]////////////////////////////////////////>x
2)        (-8)////////(0)//////////////////////////////////(8)                         >x
3)//////////////////////////////////////////////////////(2)            (32768)//////>x 
ОД3:                (0)//[1/8]        [1/2]////////////////////////////////////////>x
$OTBET:xin(0;frac{1}{8}]cup[frac{1}{2};2)$