Question

sinx(1-cosx)^2+cosx(1-sinx)^2=2

Answer 1

$sin x(1-cos x)^2+cos x(1-sin x)^2=2\ sin x(1-2cos x+cos^2x)+cos x(1-2sin x+sin^2 x)=2\ sin x+sin xcos^2x+cos x+cos xsin^2x-4sin xcos x=2\ cos xsin x(cos x+sin x)+sin x+cos x-4sin xcos x=2(sin^2x+cos^2x)\ cos xsin x(cos x+sin x)+sin x+cos x=2(sin x+cos x)^2$

Пусть $sin x+cos x=t$, причем $|t| leq sqrt{2}$, тогда $(sin x+cos x)^2=t^2,, Rightarrow ,,, sin xcos x= dfrac{t^2-1}{2}$

Подставим в последнее уравнение, получаем

$dfrac{t^2-1}{2} cdot t+t=2t^2|cdot 2\ \ t^3-t+t=4t^2\ t^3-4t^2=0\ t^2(t-4)=0\ t_1=0$
$t_2=4$ - не удовлетворяет условию при |t|≤√2

Обратная замена

$sin x+cos x=0|:cos x\ tgx=-1\ x=- dfrac{pi}{4}+pi n,n in mathbb{Z}$


Окончательный ответ: $- dfrac{pi}{4}+pi n,n in mathbb{Z}$