Question

Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием:
$2x_1^2 + 9x_2^2 + 2x_3^2 - 4x_1x_2 + 4x_2x_3$

Answer 1

пусть x1=x , x2=y , x3=z 

 

составим матрицу

$left[begin{array}{ccc}2&-2&0\-2&9&2\0&2&2end{array}right]$:

 

ей соответствует система уравнений:

2x-2y=px

-2x+9y-2z=py

2y+2z=pz

 

 

составим характеристическое уравнение:

$left[begin{array}{ccc}2-p&-2&0\-2&9-p&2\0&2&2-pend{array}right]$:=0 

 

 

 

раскроем определитель по первой строке:

(2-p)((9-p)(2-p)-4) + 2(-2(2-p)) = 0

 

преобразуем:

(2-p)(p^2-11p+14) -8+4p = 0

-p^3+13p^2-36p+28-8+4p = 0

p^3-13p^2+32p-20 = 0

решаем уравнение и получаем:

p1=1

p2=2

p3=10

 

 

так как нет слогаемых типа 2x , 2y, 4z (коэффициенты могут быть любыми)

получаем новое уравнение:

x^2+2y^2+10z^2=0

 

приводим к каноническому виду:

x^2/10 + y^2/5 + z^2 = 0