Question

Решить задачу по геометрии, подробно с объяснениями (45 баллов)

Answer 1

ABCD - правильный тетраэдр, значит, все ребра равны
AB = BC = AC = AD = BD = CD = 12
Проведем сечение плоскостью через ребро CD и через K середину AB.
Тогда шар, вписанный в куб в плоскости станет кругом, вписанным в треугольник. Это показано на правом рисунке.
CK = DK = 12*√3/2 = 6√3
Найдем площадь треугольника CDK по формуле Герона.
p = (a+b+c)/2 = (12+6√3+6√3)/2 = 6+6√3
$S(CDK) = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = sqrt{(6+6 sqrt{3} )(6 sqrt{3} -6)*6*6}=$
$=6 sqrt{6^2*3-6^2}=6 sqrt{6^2*2}=6*6 sqrt{2}=36 sqrt{2}$ 
Радиус вписанного круга (он же радиус шара)
$r= frac{S}{p}= frac{36 sqrt{2} }{6+6 sqrt{3} }=frac{6 sqrt{2} }{1+sqrt{3} }= frac{6 sqrt{2}*(sqrt{3}-1)}{(sqrt{3}+1)(sqrt{3}-1)}= frac{6 sqrt{2}*(sqrt{3}-1)}{3-1} =3 sqrt{2}*(sqrt{3}-1)$
Площадь поверхности вписанного шара
$S=4 pi r^2=4 pi *9*2( sqrt{3} -1)^2=72 pi (3-2 sqrt{3} +1)=144 pi (2- sqrt{3} )$