Помогите с 2 заданием!
1)Система Уравнение:
x^2+2*y=7
y^2+4*z=-7
z^2+6*x=-14
2)прямоугольный трапеций АБВГ(БВ//АГ,АБ перпендикулярно АГ). В нём вписана окруж.Найти площадь трапеции, ОВ=6,ОГ=8. О-центр окружность.
Спасибо за ранее!
Ответы
1) Cложим почленно левые и правые части уравнений системы, получим х²+у²+z²+2у+4z+6х=-14
(х²+6х)+(у²+2у)+(z²+4z) = -14
В каждой скобке неполный квадрат суммы двух выражений ( вспомни формулу (а+в)²=а²+2ав+в²). Дополним каждую скобку свободным членом и тут же вычтем:
(х²+6х+9)+(у²+2у+1)+(z²+4z+4) = -14 -( 9+1+4)
( х+3)²+ ( у+1)² + (z+2)² = 0. Это уравнение сферы, где (-3;-1;-2) - координаты центра. Это и есть решение системы.
Ответ: (-3;-1;-2).
2.Немного пояснений: ВБ и ВГ - касательные к окружности, впмсанной в трапецию, ВО- биссектриса <В. Аналогично ГО - биссектриса <Г. Углы В и Г трапеции - внутренние односторонние, <В+<Г=180⁰, значит сумма половинок этих углов равна 90⁰. Мы доказали, что треугольник ВОГ - прямоугольный.
Теперь по теореме Пифагора находим ВГ²= ОВ²+ОГ², ВГ²=6²+8²=100, ВГ=10.
Опустим из точки О высоту ОН на сторону ВГ. треугольники ОНВ и НГО подобны( как прямоугольные по катету и острому углу). Изподобия треугольников следует, что
ОН/ОВ =ОГ/ВГ, или ОН/6=8/10, ОН=4,8. ОН - радиус окружности, АБ=2R, значит АБ=2·4,8=9,6.
Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны, значит АБ+ВГ = АГ+БВ.
Теперь можно найти площадь трапеции : S=½(АГ+БВ)·АБ
S=½(9,6+10)·9,6 = 94,08
Ответ: 94,08.