Question

радиус основания конуса 5, а высота 12. плоскость сечения проходит через вершину конуса и хорду основания, длина которой 6. найдите расстояние от центра основания до плоскости сечения

Answer 1

Есть конус. т.О - центр основания, Д - вершина, АВ - хорда.

Рассмотрим равнобедренный треугольник АВО: АО=ВО=r=5, АВ=6. Из т.О опустим перпендикуляр ОС к стороне АВ:

ОС^2=AO^2-AC^2=5^2-(6/2)^2=25-9=16, ОС=4.

Рассмотрим прямоугольный треугольник СДО: 

СД^2=OC^2+ОД^2=4^2+12^2=16+144=160, СД=4*корень из 10 

Из т.О проведем перпендикуляр ОЕ к стороне СД. Треугольники СДО и ЕДО подобны (угол Д общий, угол СОД=ОЕД=90). Тогда:

СД:ОД=ОС:ОЕ;

ОЕ=ОД*ОС/СД=12*4/(4*корень из 10)=12/корень из 10

 

   

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Расстоянием от центра до плоскости будет ОL. ОL перпендикулярна плоскости ABS. Так как OL перпендикулярна SM по постороению.Также OL перпендикулярна АВ. AB перпендикулярна всей плоскости SOM по теореме о 3-х перпендикулярах. Значит и  $OLperp AB,quad OLperp LM$ Если прямая перпендикулярна двум непараллельным прямым в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости.

Рассмотрим треугольник SOM. Он - прямоугольный. Теперь найдем неизвестный катет ОМ. Его можно узнать из прямоугольного треугольника в основании конуса $Delta AOM.$ Так как АМ=МВ=3, так как SM - является высотой, биссектрисой и медианой в равнобедренном треугольнике ASB (AS=BS).  

У треугольника АОМ гипотенуза ОА=5 см, АМ=3см. Надо узнать только ОМ. По теореме Пифагора

$OM=sqrt{OA^2-AM^2}=sqrt{5^2-3^2}=sqrt{25-9}=sqrt{16}=4$

 

Теперь снова обратим внимание на треугольник SOM. Два катета у него уже известны. SO=12 см как высота конуса. Теперь найдем гипотенузу SM по той же теореме Пифагора.

 

$SM=sqrt{OM^2+SO^2}=sqrt{4^2+12^2}=sqrt{16+144}=sqrt{160}=4sqrt{10}$

 

Найдем синус угла М в треугольнике SOM.

$sinangle M=frac{SO}{SM}=frac{12}{4sqrt{10}}=frac{3}{sqrt{10}}$

 

Теперь из прямоугольного треугольника MOL найдем катет OL, зная гипотенузу ОМ.

$OL=OM*sinangle M=4*frac{3}{sqrt{10}}=frac{12}{sqrt{10}}$

 

Ответ: расстояние от точки О до плоскости сечения равно $frac{12}{sqrt{10}}$