Question

Однородный стержень длиной L колеблется около оси, проходящий через его конец. Найти период колебаний и приведённую длину такого маятника

Мне нужно дано и чёткое решение желтельно с пояснениями!

Answer 1

Несложно написать уравнение движения такого маятника:

$Idfrac{d^2varphi}{dt^2}=-mghsin varphi$

Немного пошаманив, можно показать, что для периода можно написать

$T=4sqrt{dfrac{I}{mga}}cdot Kleft(sindfrac{varphi_0}2right)$

где а=L/2 - расстояние от центра инерции до точки подвеса, а К - полный эллиптический интеграл 1 рода.

Известно, что момент инерции однородного стержня равен I0=mL^2/12, тогда по теореме Штейнера I=I0+ma^2=mL^2/12+mL^2/4=mL^2/3

Подставив всё в формулу, получаем 

$T=4sqrt{dfrac{mL^2/3}{mgL/2}}cdot Kleft(sindfracvarphi2right)=4sqrt{dfrac{2L}{3g}}cdot Kleft(sindfracvarphi2right)$$T=4sqrt{dfrac{mL^2/3}{mgL/2}}cdot Kleft(sindfrac{varphi_0}2right)=4sqrt{dfrac{2L}{3g}}cdot Kleft(sindfrac{varphi_0}2right)$

 

Для случая малых углов, применяя формулу $K(alpha)approxfracpi2,$ получим такую формулу:

$Tapprox2pisqrt{dfrac{2L}{3g}}$