Question

Помогите решить, пожалуйста))
Найти указанные пределы используя правило Лопиталя

Answer 1

Правило Лопиталя: предел дроби равен пределу отношения производных числителя и знаменателя.
lim f(x) / g(x) = lim f'(x) / g'(x)

2.13
$lim_{x to 0} frac{a^x-1}{c^x-1}= lim_{x to 0} frac{a^x*ln(a)}{c^x*ln(c)} = frac{a^0*ln(a)}{c^0*ln(c)} = frac{ln(a)}{ln(c)}$

3.13
$lim_{x to 0} frac{3tg(4x)-12tg(x)}{3sin(4x)-12sin(x)} = lim_{x to 0} frac{12/cos^2(4x)-12/cos^2(x)}{12cos(4x)-12cos(x)} =$
$= lim_{x to 0} frac{12}{cos^2(4x)*cos^2(x)}* frac{cos^2(x)-cos^2(4x)}{cos(4x)-cos(x)} =$
$=- frac{12}{cos^2(0)*cos^2(0)}* lim_{x to 0} frac{(cos(4x)-cos(x))(cos(4x)+cos(x))}{cos(4x)-cos(x)} =$
$=-12lim_{x to 0} (cos(4x)+cos(x))=-12(cos(0)+cos(0))=-24$

4.13.
$lim_{x to 0} (1+x^2)^{1/x}= lim_{x to 0} exp(ln((1+x^2)^{1/x}))$
Здесь exp(z) - это функция e^z. Я ее написал, чтобы не мельчить в трехэтажных показателях степеней. Делаем дальше.
$lim_{x to 0} e^{1/x*ln(1+x^2)}=e^{lim_{x to 0} frac{ln(1+x^2)}{x} }$
Теперь вычислим отдельно предел в показателе по Лопиталю.
$lim_{x to 0} frac{ln(1+x^2)}{x} =lim_{x to 0} frac{2x}{(1+x^2)*1} = frac{2*0}{1+0}=0$
Результат
e^0 = 1

5.13.
$lim_{x to pi/2} (tg(x))^{2x-pi}= lim_{x to pi/2} exp(ln(tg(x))^{2x-pi})=$
$=lim_{x to pi/2} e^{(2x-pi)ln(tg(x))}=e^lim_{x to pi/2} (2x-pi)ln(tg(x))$
Как и в 4.13, найдем отдельно предел в показателе.
$lim_{x to pi/2} frac{ln(tg(x))}{1/(2x-pi)}=lim_{x to pi/2} frac{1}{tg(x)}* frac{1}{cos^2(x)}: frac{-2}{(2x-pi)^2} =$
$lim_{x to pi/2}-frac{cos(x)}{sin(x)*cos^2(x)}* frac{(2x-pi)^2}{2} =-lim_{x to pi/2}frac{(2x-pi)^2}{sin(2x)}=$
$=-lim_{x to pi/2}frac{2(2x-pi)*2}{2cos(2x)}= -frac{2(2*pi/2-pi)}{cos(pi)} =- frac{0}{-1} =0$
Результат
e^0 = 1