Question

Найти значение параметра а,при которых плоскости П1 и П2 параллельны(перпендикулярны). П1: 7х-ау+5az=0 П2: -x-y+5z=2

Answer 1

Чтобы плоскости были параллельны, надо, чтобы их нормальные векторы были параллельны.

Нормальный вектор П1 будет $N_1={7;-a;5a}$

Нормальный вектор П2 будет$N_2={-1;-1;5}$

Чтобы вектора были параллельны, надо, чтобы они различались всего лишь на какую-то константу, отличную от нуля. То есть кординаты первого вектора выражались через координаты второго вектора, умноженного на константу $lambda$.

Получаем систему уравнений

$begin{cases} -1*lambda=7\-1*lambda=-a\5*lambda=5a end{cases}$

 

Из первого уравнения получаем, что $lambda=-7</var>.$</p> <p> </p> <p>Второе и третье уравнения упростим и получим следующую систему</p> <p> </p> <p><img src=[/tex]begin{cases} lambda=a\lambda=a end{cases}" title="lambda=-7." title="begin{cases} lambda=a\lambda=a end{cases}" title="lambda=-7." alt="begin{cases} lambda=a\lambda=a end{cases}" title="lambda=-7." />

 

Второе и третье уравнения упростим и получим следующую систему

 

$lambda=-7</var>.$

 

Второе и третье уравнения упростим и получим следующую систему

 

$<var>begin{cases} lambda=a\lambda=a end{cases}" /></var></p> <p> </p> <p>То есть а=-7. В этом случае плоскости параллельны.</p> <p> </p> <p>Чтобы плоскости были перпендикулярны, надо чтобы скалярное произведение нормальных векторов равнялось нулю.</p> <p> </p> <p>Надо перемножить все координаты между собой и приравнять их нулю</p> <p> </p> <p>[tex]7*(-1)+(-a)*(-1)+5a*5=0$

 

$-7+a+25a=0$

 

$-7+26a=0$

 

$26a=7$

 

$a=frac{7}{26}$

 

Ответ:

 

при а=-7 - плоскости параллельны,

 

при $a=frac{7}{26}$ - плоскости перпендикулярны.