Question

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро, равное b, наклонено к основанию под углом a. Через вершину пирамиды параллельно стороне основания проведено сечение, наклоненное к плоскости основания под углом B. Определить площадь сечения.

Answer 1

Исходя из геометрии задачи и рисунка 4 в приложении, найдем высоту данной пирамиды:

$sina=frac{h}{b}$

$h=bsina$

Так как в основании пирамиды лежит правильный треугольник, найдем радиус его основания, как показано на рисунке 3 в приложении:

$tga=frac{h}{R}$

$R=frac{h}{tga}=frac{bsina}{tga}=bcosa$

Так как треугольник основания правильный, найдем величину радиуса, как показано на рисунке 3, углы при основании прямоугольных треугольника будут равны, тогда длина стороны данного треугольника будет равна:

$cos30=frac{frac{v}{2}}{R}=frac{v}{2R}$

$v=2Rcos30=Rsqrt3=bsqrt3cosa$

Так как у правильной пирамиды ребра равны, найдем величину апофемы w, исходя из прямоугольного треугольника бокой грани:

$w=sqrt{b^2-(frac{v}{2})^2}=sqrt{b^2-frac{v^2}{4}}=sqrt{b^2-frac{3b^2cos^a}{4}}=frac{b}{2}sqrt{4-3cos^2a}$

Так как проведенное сечение образует еще одну правильную пирамиду, с правильным треугольником в основании, как показано на рисунке 3, но полученная призма является наклонной, и высоты обеих призм совпадают, тогда можем найти высоту проведенную в сечении (обозначенную буквой g) исходя из рисунка 4:

$sinB=frac{h}{g}$

$g=frac{h}{sinB}=frac{bsina}{sinB}$

Тогда используя теорему синусов найдем угол G в том же треугольнике:

$frac{g}{sinG}=frac{w}{sinB}$

$sinG=frac{gsinB}{w}=frac{frac{bsina}{sinB}sinB}{w}=frac{bsina}{w}$

Тогда зная углы G и B найдем величину угла T:

$T=180-G-B$

Угол B задан в условии а угол G будет равен:

$G=arcsin(frac{bsina}{w})=arcsin(frac{bsina}{frac{b}{2}sqrt{4-3cos^2a}})=arcsin(frac{2sina}{sqrt{4-3cos^2a}})$

Тогда угол T будет равен:

$T=180-B-arcsin(frac{2sina}{sqrt{4-3cos^2a}})$

Тогда исходя из теоремы синусов найдем длину стороны z:

$frac{z}{sinT}=frac{g}{sinG}$

$z=frac{gsinT}{sinG}=frac{gsinT}{frac{gsinB}{w}}=frac{wsinT}{sinB}$

Как показано на рисунке 3 величина z характеризует разность высот обоих треугольников, тогда получаем:

$h_2=h_1-z$ где $h_2$ высота меньшего треугольника, а $h_1$ высота большего треугольника.

Так как треугольники правильные, высота будет вычисляться по формуле:

$h=frac{sqrt{3}}{2}a$

Получаем:

$h_2=frac{sqrt{3}}{2}v-z=frac{sqrt{3}}{2}v-frac{wsinT}{sinB}$

т.к:

$h_2=frac{sqrt{3}}{2}y$

Получаем:

$y=frac{2(frac{frac{sqrt{3}}{2}}v-z)}{sqrt{3}}=2(frac{frac{sqrt{3}}{2}v-frac{wsinT}{sinB}}{sqrt{3}})$

Так как сечение состит из двух прямоугльных треугольников как показано на рисунке 2, тогда его площадь будет равна:

$S=frac{gy}{2}+frac{gy}{2}=gy$

Получаем:

$S=gy=frac{bsina}{sinB}*(2(frac{frac{sqrt{3}}{2}v-frac{wsinT}{sinB}}{sqrt{3}}))=$

$=frac{bsina}{sinB}*(2(frac{frac{sqrt{3}}{2}bsqrt3cosa-frac{wsin(180-B-arcsin(frac{2sina}{sqrt{4-3cos^2a}}))}{sinB}}{sqrt{3}}))=$

$=frac{2}{sqrt{3}}*frac{bsina}{sin^2B}*(frac{3}{2}bcosasinB-wsin(180-B-arcsin(frac{2sina}{sqrt{4-3cos^2a}}))$

Ответ:

$S=frac{2}{sqrt{3}}*frac{bsina}{sin^2B}*(frac{3}{2}bcosasinB-wsin(180-B-arcsin(frac{2sina}{sqrt{4-3cos^2a}}))$

Answer 2

Для начала замечу, что сечение может быть расположено как между высотой и основанием, так между высотой и ребром.

Принцип решения один и тот же. 

--------------------------------------------------------------------------

 Из вершины пирамиды проведем наклонную SH  под углом β к плоскости ее основания.

Через Н проведем прямую КЕ║АВ

 

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости

 

АВ- не лежит в плоскости треугольника SKE,  параллельна КЕ, лежащей в этой плоскости, следовательно,  плоскость ᐃ КSЕ║АВ

Для решения задачи нужно найти высоту SН и основание KE  ᐃ КSЕ.

Делать это будем по шагам. 

 

SO=b*sin α

 

СО=SC*cos α=b*cos α

 

SH=SO:sin β = b*sin α:sin β

 

OH= SO:tg β= b*sin α : tg β

 

CH=CO+OH= b*cos α + b*sin α : tg β

 

Так как КЕ║АВ, треугольник КСЕ подобен равностороннему АСВ и также является равносторонним.

 

∠НЕС=60°

 

CE=CH:sin (60°)= (b*cos α + b*sin α:tg β)*2:√3

 

KE=CE

 

S ᐃSKE=SH*KE:2

 

S ᐃSKE= 1/2)*(b*sin α:sin β)* (b*cos α + b*sin α:tg β)*2:√3

 

S ᐃSKE = (b*sin α:sin β)* (b*cos α + b*sin α:tg β) :√3 =

S ᐃSKE = b² (sin α:sin β)*(cos α + sin α:tg β) :√3

 --------------------------