Question

в равнобедренную трапецию с острым углом 60, одно из оснований которой на 4 больше другого, вписана окружность. найдите произведение длин диагоналий трапеции

Answer 1

Обозначим вершины трапеции АВСD, АВ=СD, АD - ВС=4.

Опустим высоту ВН. Высота равнобедренной трапеции, опущенная из тупого угла,  делит большее основание на отрезки, меньший из которых равен полуразности, больший - полусумме оснований. 

АН=4:2=2. 

ВН=АН•tg60°=2√3

ВН - диаметр вписанной окружности. r=√3.

Продолжив боковые стороны трапеции до их пересечения в точке К, получим равносторонний ∆ АКD с вписанной в него окружностью. Формула радиуса вписанной в правильный треугольник окржуности 

r=a√3):6, 

√3=a√3:6, откуда  а=6. АD=АК=DК=6 

НD=6-АН=4

Диагонали равнобедренной трапеции равны. АС=BD

ВD•BD=BD²

BD²=BH²+HD²=(2√3)²+4²=28