Question

Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна а. Диагональ призмы наклонена к плоскости боковой грани под углом в 30 градусов. Найдите высоту призмы и угол наклона диагонали к плоскости.

Answer 1

Без рисунка не обойтись.  

Для наглядности "уложим" призму на боковую сторону (см. рис. 1)
Диагональ В₁D образует с плоскостью DCC₁D₁ угол 30°.
В₁С₁=ВС=а
В₁D=В₁С₁: sin(30 °)=2а

 

Перейдем к рис. 2.
В₁DВ - угол, образованный диагональю призмы с плоскостью основания.
Стороны угла - диагональ призмы ( она, мы выяснили, равна 2а) и диагональ основания.
Диагональ основания равна, как любая диагональ квадрата, его стороне, умноженной на корень из двух, т.е. а√2
Косинус угла В₁D₁В равен
BD:B₁D=(а√2):2а=√2/2
Это косинус угла 45°.
Так как острый угол прямоугольного треугольника равен 45°, треугольник DВВ₁ равнобедренный.
Отсюда следует равенство высоты призмы и диагонали ее основания.
Высота призмы равна а√2