Question

Решите неравенство:
(ln(9y^2-3y+1)) / (ln(8y^2-6y+1)^3) = log5^3(9)/log5(9)
"=" - меньше или равно

Answer 1

$log_{5^3}(9)= frac{ln(9)}{ln(5^3)} = frac{ln(9)}{3ln(5)} ;log_5(9)= frac{ln(9)}{ln(5)}$
Поэтому $frac{log_{5^3}(9)}{log_5(9)} = frac{1}{3}$
Получаем
$frac{ln(9y^2-3y+1)}{ln(8y^2-6y+1)^3} leq frac{1}{3}$
$frac{ln(9y^2-3y+1)}{3ln(8y^2-6y+1)} leq frac{1}{3}$
$frac{ln(9y^2-3y+1)}{ln(8y^2-6y+1)} leq1$
$frac{ln(9y^2-3y+1)}{ln(8y^2-6y+1)}-1 leq0$
$frac{ln(9y^2-3y+1)-ln(8y^2-6y+1)}{ln(8y^2-6y+1)} leq0$
Если дробь <= 0, то числитель и знаменатель имеют разные знаки.

1) Числитель отрицательный.
{ ln(9y^2-3y+1)-ln(8y^2-6y+1) <= 0
{ ln(8y^2-6y+1) > 0
Разность логарифмов - это логарифм дроби
{ $ln frac{9y^2-3y+1}{8y^2-6y+1} leq 0$
{ $ln(8y^2-6y+1) textgreater 0$
0 = ln(1). Избавляемся от логарифмов.
{ $frac{9y^2-3y+1}{8y^2-6y+1} leq 1$
{ $8y^2-6y+1 textgreater 1$
Преобразуем так, чтобы справа были 0
{ $frac{9y^2-3y+1-(8y^2-6y+1)}{8y^2-6y+1} leq0$
{ $8y^2-6y textgreater 0$
Упрощаем
{ $frac{y^2+3y}{8y^2-6y+1} leq0$
{ 2y(4y - 3) > 0
Разложим на множители
{ $frac{y(y+3)}{(2y-1)(4y-1)} leq 0$
{ 2y(4y - 3) > 0
По методу интервалов
{ y ∈ [-3; 0] U (1/4; 1/2)
{ y ∈ (-oo; 0) U (3/4; +oo)
Результат: y ∈ [-3; 0)

2) Числитель положительный
{ ln(9y^2-3y+1)-ln(8y^2-6y+1) >= 0
{ ln(8y^2-6y+1) < 0
Разность логарифмов - это логарифм дроби
{ $ln frac{9y^2-3y+1}{8y^2-6y+1} geq 0$
{ $ln(8y^2-6y+1) textless 0$
0 = ln(1). Избавляемся от логарифмов.
{ $frac{9y^2-3y+1}{8y^2-6y+1} geq 1$
{ $8y^2-6y+1  textless  1$
Преобразуем так, чтобы справа были 0
{ $frac{9y^2-3y+1-(8y^2-6y+1)}{8y^2-6y+1} geq 0$
{ $8y^2-6y textless  0$
Упрощаем
{ $frac{y^2+3y}{8y^2-6y+1} geq 0$
{ 2y(4y - 3) < 0
Разложим на множители
{ $frac{y(y+3)}{(2y-1)(4y-1)} geq 0$
{ 2y(4y - 3) < 0
По методу интервалов
{ y ∈ (-oo; -3] U [0; 1/4) U (1/2; +oo)
{ y ∈ (0; 3/4)
Результат: y ∈ (0; 1/4) U (1/2; 3/4)

Ответ: y ∈ [-3; 0) U (0; 1/4) U (1/2; 3/4)