Question

На покоящийся шар массы m1 налетает шар массой m2 со скоростью V0. Удар
центральный и абсолютно упругий. Определить при каком соотношении масс шаров налетающий
шар может передать покоящемуся шару наибольшую энергию.

Answer 1

ясно, что наибольшую энергию налетающий шар передаст в том случае, когда он остановится. исходя из этого предположения из ЗСИ и ЗСЭ нетрудно получить, что m1/m2 = 1. но проверим это более строгим путем

введем параметр m1/m2 = x и найдем, при каком значении x доля энергии, которую отдает налетающий шар, максимальна

запишем систему из закона сохранения импульса и энергии:

m2 v0 = m2 v + m1 u
m2 v0² = m2 v² + m1 u²

распишем разность квадратов во втором уравнении:

m2 v0 = m2 v + m1 u
m2 (v0 - v) (v0 + v) = m1 u²

разделим второе уравнение на первое:

u = v0 + v 

подставим полученное уравнение в изначальное уравнение ЗСИ:

m2 v0 = m2 v + m1 v0 + m1 v

v0 (m2 - m1) = v (m1 + m2)

v = v0 (m2 - m1)/(m1 + m2)

теперь найдем долю энергии, которую передает налетающий шар:

w = (E2 - E1)/E1 = (E2/E1) - 1 = ((m2 - m1)/(m1 + m2))² - 1

вспомним про наш параметр x = m1/m2 и рассмотрим функцию w(x):

w(x) = ((1 - x)/(1 + x))² - 1

возьмем от нее производную:

w'(x) = 2 * ((1 - x)/(1 + x))' * ((1 - x)/(1 + x))

w'(x) = 2 * ((1 - x)/(1 + x)) * ((-1 - x - 1 + x)/(1+x)²)

w'(x) = 4 (x - 1)/(x + 1)³

налетающий шар отдаст наибольшую энергию при условии, что w'(x) = 0. это выполняется при x = 1

ч.т.д.