Question

. В трапеции проведены два параллельных основанию отрезка. Один проходит
через точку пересечения диагоналей и равен 1,6. Другой, равный 2, делит её на две
подобные трапеции. Найдите отношение отрезков боковой стороны, на которые
делят её два данных отрезка.

Answer 1

$ABCD-$ трапеция
$AC$ ∩ $BD=O$
$PK$ ║ $BC$
$LF$ ║ $AD$
$PK=1.6$
$LF=2$
трапеция $LBCF$ подобна трапеции $ALFD$
$BP:PL:AL-$ ?

$ABCD-$ трапеция
$AC$ ∩ $BD=O$
Пусть $BC=a,$  а $AD=b$   $a textless b$
1) Δ $AOD$ подобен Δ $BCO$ ( по двум углам)
$frac{AO}{OC} =frac{AD}{BC}= frac{a}{b}$
Δ $APO$ подобен Δ $ACB$  ( по двум углам)
$frac{AO}{AC}= frac{PO}{BC}= frac{b}{a+b}$
Значит, $PO= frac{BC*b}{a+b} = frac{ab}{a+b}$
Аналогично:
Δ $DOK$ подобен Δ $DBC$ (по двум углам) ⇒ $OK= frac{ab}{a+b}$
$PK=OK+OP$
$PK= frac{2ab}{a+b}$
$PK=1.6$
$frac{2ab}{a+b}=1.6$

2) трапеция $LBCF$ подобна трапеции $ALFD$ (по условию) ⇒ $frac{a}{LF} = frac{LF}{b}$
$LF^2=ab$
$LF=2$ ⇒ $ab=4$
Составим систему уравнений и решим:
$left { {{ frac{2ab}{a+b}=1.6} atop {ab=4}} right.$
$left { {{ frac{2*4}{a+b}=1.6} atop {ab=4}} right.$
$left { {{a+b}=5} atop {ab=4}} right.$
$left { {{a=5-b} atop {ab=4}} right.$
$left { {{a=5-b} atop {b(5-b)-4=0} right.$
$left { {{a=5-b} atop {b^2-5b+4=0} right.$
$b^2-5b+4=0$
$D=(-5)^2-4*1*4=9$
$b_1= frac{5+3}{2}=4,$     $a_1=5-4=1$
$b_2= frac{5-3}{2} =1,$     $a_2=5-1=4$
$BC=1,$   $AD=4$

3) Проведем $BZ$ ║ $CD$ ⇒ $ZBCD-$ параллелограмм
$BC=ZD=1$
$BZ$ ∩ $PK=T$
$BZ$ ∩ $LF=Q$
$AZ=AD-ZD=4-1=3$
$PT=PK-KT=1.6-1=0.6$
$LQ=LF-QF=2-1=1$

4) Обозначим $BP=x,$  $LP=y$
$BL=LP+PB=x+y$
Δ $PBT$ подобен Δ $LBQ$ (по двум углам)
$frac{PB}{BL} = frac{PT}{LQ}$
$frac{x}{x+y} = frac{0.6}{1}$
$x=0.6(x+y)$
$x=0.6x+0.6y$
$0.4x=0.6y$
$2x=3y$
$x=1.5y$
$BP=1.5y$
$BL=y+1.5y=2.5y$
трапеция $LBCF$ подобна трапеции $ALFD$ 
$frac{AL}{LB} = frac{LF}{BC}$
$frac{AL}{2.5y} = frac{2}{1}$
${AL}=5y$
Получаем,что 
$BP:PL:AL=x:y:5y$
$x=1.5y$
$BP:PL:AL=1.5y:y:5y$ 
или сокращая на y получим:
$BP:PL:AL=1.5:1:5$

Ответ: $BP:PL:AL=1.5:1:5$
рисунок в приложении