Question

Вычисление неопределенных интегралов методом непосредственного интегрирования.

1.  $int{frac{x^3-3x^2+4x-2}{x}}, dx$

2. $int{x^2(1+4x)}, dx$

3. $int{(2x-frac{1}{cos^2x}+sinx)}, dx$

4. $int{(frac{2sin^2x+1}{sin^2x})}, dx$

5. $int{tg^2x}, dx (tg^2x+1=frac{1}{cos^2x}$

6. $int{frac{dx}{9+x^2}},$

7. $int{4sqrt[3]{x^2}-3sqrt{x}+frac{2}{sqrt[4]{x}}, dx$

 

Желательно расписать само решение подробно.

Answer 1

$1;<var>int{frac{x^3-3x^2+4x-2}{x}}, dx=intleft(frac{x^3}x-frac{3x^2}x+frac{4x}x-frac{2}xright)dx=\ =intleft(x^2-3x+4-frac2xright)dx=int x^2dx-3int xdx+4int dx-2intfrac1xdx=\ =frac{x^3}3-frac{3x^2}2+4x-2ln|x|+C</var>$

$2;int{x^2(1+4x)}, dx=int(x^2-4x^3)dx=int x^2dx-4int x^3dx=\ =frac{x^2}2-x^4+C$

$3.;int{(2x-frac{1}{cos^2x}+sin x)}, dx=2int xdx-intfrac{dx}{cos^2x}+intsin xdx=\ =x^2-frac{sin x}{cos x}-cos x+C=x^2-tgx-cos x+C$

$4;int{left(frac{2sin^2x+1}{sin^2x}right)}, dx=intleft(2+frac1{sin^2x}right)dx=\ =2int dx+intfrac{dx}{sin^2x}=2x-frac{cos x}{sin x}=2x-ctgx+C$

$5;int{tg^2x}, dx=intleft(frac1{cos^2x}-1right)dx=intfrac{dx}{cos^2x}-int dx=\ =frac{sin^2x}{cos^2x}-x+C=tgx-x+C$

$6;int{frac{dx}{9+x^2}},=int{frac{dx}{3^2+x^2}},=frac13arctgfrac x3+C$

$7;int4sqrt[3]{x^2}-3sqrt{x}+frac{2}{sqrt[4]{x}}dx=4intsqrt[3]{x^2}dx-3intsqrt xdx+2intfrac{dx}{sqrt[4]{x}}=\ =4int x^{frac23}dx-3int x^{frac12}dx+2int x^{-frac14}dx=\=4cdotfrac35x^frac53-3cdotfrac23x^frac32+2cdotfrac43x^frac34+C =frac{12}5sqrt[3]{x^5}-2sqrt{x^3}+frac83sqrt[4]{x^3}+C$