Question

доведіть що рівняння X4 – 4x3+ 12x2 – 24x +24=0 не має розвязків

Answer 1

$x^4-4x^3+12x^2-24x+24=0;\\x^4-4x^3+4x^2+8x^2-24x+24=0;\\x^2(x^2-4x^2+4)+8(x^2-3x+3)=0;\\x^2(x-2)^2+8(x^2-3x+3)=0$

 

при будьякому дійсному  х: $x^2 geq 0, (x-2)^2 geq 0;$ а $8(x^2-3x+3)=8((x-1.5)^2+0.75)>0$

л.ч. представляє собою суму двох добутків, перший з яких невідємний (як добуток двох невідємних множників), другий додатній як добуток двох додатніх, тому л.ч. при будьякому дійсному х додатня, а значить дане рівняння не має розвязків (л.ч. зажди більша за 0)