Question

В шар радиуса 3 вписан цилиндр наибольшего объёма. Чему равен радиус цилиндра

Answer 1

 

Обозначим радиус шара R, радиус цилиндра r, высоту цилиндра h, объем цилиндра V.

R=3

радиус цилиндра является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза - радиус шара, а второй катет половина высоты цилиндра, отсюда:

r²=R²-¼h²=9-¼h²

V=πr²h=πh(9-¼h²)=π(9h-¼h³)

Очевидно, что минимальный объем будет при h=0, а чтобы найти максимальный, возьмем производную от функции объема по h и приравняем нулю.

V'=π(9-¾h²)

π(9-¾h²)=0

9=¾h²

12=h²

h=2√3

r²=9-3=6

r=√6