Question

вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями: у=4-х^2 и у=2х+1

Answer 1

Площадь данной фигуры находится по формуле 

$intlimits^b_a {(f(x) - g(x))} , dx$

В данном случае

f(x) = 4 - x^2

g(x) = 2x + 1

Прямая и парабола пересекаются в точках -3 и 1. Будем искать площадь фигуры на промежутке [-3;1]. Теперь можно упросить выражение f(x) - g(x)

(4 - x^2) - (2x + 1) = 4 - x^2 - 2x - 1 = 3 - x^2 - 2x

Найдём первообразную, чтоб не переписыать потом

F(x) = F(3 - x^2 - 2x) = 3x - $3 - x^2 - 2x 3x - frac{x^3}{3} - frac{2x^2}{2} = 3x - frac{x^3}{3} - x^2$

Теперь подставляем.

S = $intlimits^1_{-3} {((4 - x^2) - (2x + 1))} , dx = intlimits^1_{-3} {(3 - x^2 - 2x}) , dx = (3 * 1 - frac{1^3}{3} - 1^2) - ( 3 * (-3) - frac{(-3)^3}{3} - (-3)^2) = 3 - frac{1}{3} - 1 + 9 - 9 + 9 = 2 - frac{1}{3} + 9 = 10frac{2}{3}$ ед^2