Question

Доказать сходимость ряда и найти его сумму[$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2}(-1)^(n-1)$

Answer 1

Ряд сходится по признаку Лейбница (значкочередующийся ряд с убывающими по модулю членами).

 

Сумму его можно найти, например, используя сумму известного ряда 

$sumlimits_1^infty dfrac1{n^2}=dfrac{pi^2}6$$sumlimits_1^infty dfrac1{n^2}=dfrac{pi^2}6$

$sumlimits_1^infty dfrac{(-1)^{n-1}}{n^2}=sumlimits_1^infty dfrac1{n^2}-sumlimits_1^infty dfrac2{(2n)^2}=dfrac{pi^2}6-dfrac{pi^2}{12}=dfrac{pi^2}{12}$

 

Сумму ряда из обратных квадратов можно найти огромным числом способов, которых легко находятся в интернете.