Question

найдите значение выражения  (буду очень признателен за подробное решение т.к. в первую очередь хочу разобраться сам!)

 

p=49x⁴-42x²y²+9y⁴

если x=2t√7-√7t²   (ДРОБЬ!!!)

y=t²+1√3-√3t² (ДРОБЬ!!!)

Answer 1

$49 x^4-42 x^2 y^2 + 9 y^4 =$

$7^2 x^4-2cdot7cdot3cdot x^2y^2+3^2 y^4=$

$(7x^2)^2-2(7x^2)(3y^2) +(3y^2)^2=$

$(7x^2-3y^2)^2$

 

подсчитаем $7x^2-3y^2$   -разностьквадратов

 

$7x^2-3y^2=(sqrt{7} x-sqrt{3} y)cdot(sqrt{7} x+sqrt{3}y)$

 

 

 

$(sqrt{7} x+sqrt{3} y)=frac{sqrt{7}cdot 2t}{sqrt{7}-sqrt{7}cdot t^2}+frac{sqrt{3}cdot (t^2+1)}{sqrt{3}-sqrt{3}cdot t^2}=$

$frac{2t}{1-t^2}+frac{(t^2+1)}{1-t^2}=frac{2t+t^2+1}{1-t^2}=frac{(t+1)^2}{1-t^2}=-frac{t+1}{t-1}$

 

$(sqrt{7} x-sqrt{3} y)=frac{sqrt{7}cdot 2t}{sqrt{7}-sqrt{7}cdot t^2}-frac{sqrt{3}cdot (t^2+1)}{sqrt{3}-sqrt{3}cdot t^2}=$

 

$frac{2t}{1- t^2}-frac{(t^2+1)}{1-t^2}= frac{2t-t^2-1}{1- t^2}=frac{t^2-2t+1}{t^2-1}=frac{(t-1)^2}{t^2-1}=frac{t-1}{ t+1}$

 

$(7x^2-3y^2)^2=(-frac{t+1}{t-1}cdot frac{t-1}{t+1})^2=(-1)^2=1$

 

ответ: 1