Question

Обчислити площу фігури обмежену лініями

y=x в квадрате+2

y=4-x в квадрате

Answer 1

$\x^2+2=4-x^2\ 2x^2=2\ x^2=1\ x=-1 vee x=1\\ int limits_{-1}^14-x^2-(x^2+2), dx=\ int limits_{-1}^1-2x^2+2, dx=\ -2int limits_{-1}^1x^2-1, dx=\ -2Big[frac{x^3}{3}-xBig]_{-1}^1=\ -2(frac{1^3}{3}-1-(frac{(-1)^3}{3}-(-1))=\ -2(frac{1}{3}-1-(-frac{1}{3}+1))=\ -2cdot(frac{2}{3}-2)=\ -frac{4}{3}+4=\ -frac{4}{3}+frac{12}{3}=\ frac{8}{3}$

 

Answer 2

Построим графики функций y(1) = x^2 + 2 и y(2) = 4 - x^2

Получились параболы, которые пересекаются в точках -1 и 1 по иксу. Значит будем искать площадь фигуры на промежутке [-1;1] - пределы интегрирования

В данном случае будем y(2) - y(1)

S = $intlimits^b_a {(f(x) - g(x))} , dx = intlimits^1_{-1} {((4 - x^2) - (x^2 + 2))} , dx = intlimits^1_{-1} {(2 - 2x^2 )} , dx = F(b) - F(a) = (2 * 1 - frac{2 * 1^3}{3}) - (2 * (-1) - (-frac{2 * 1^3}{3})) = 2 - frac{2}{3} + 2 - frac{2}{3} = 4 - 1frac{1}{3} = 2frac{2}{3}$ ед^2